直観で解く受験数学

直観で解く受験数学

著 | 三上慎司
1500円 (税抜)

ページ数:296ページ
発売日:2015/6/25
ISBN:978-4-7993-1691-7

Product description 商品説明

数学で重要なのは、厳密さである。
厳密さ抜きに数学を学ぶことはできない。
しかし、その厳密さゆえに数学を苦手と感じているならもったいない。
難しすぎず簡単すぎない「直観的イメージ」を把握することで、厳密な証明や堅苦しい説明も理解しやすくなるはずだ。
そのような発想のもと生まれたのが本書である。

受験数学全体を大雑把に分類してしまうと、まずあるのが数学の約束事ともいえる数学基礎論。その上で、代数、解析、幾何という三つの分野に分けることができる。
数学基礎論というのは論理、集合、証明など、数学の基礎となる考え方を学ぶ分野である。
代数とは数の代わりに文字を使う分野のことで、連立方程式、二次方程式、高次方程式、分配法則や因数分解などが含まれる。
幾何というのは図形を扱う分野のことで、本書では三角比、弧度法、チェバの定理やメネラウスの定理などを取り上げる。
関数の変化量などを調べる解析では、関数やグラフ、微分積分など、関数と名のつくもの含まれている。
ベクトルや領域・軌跡のように、解析と幾何が組み合わさった解析幾何という分野に該当する単元もあるが、受験数学に登場する単元はすべてこれらのいずれか、あるいはこれらの組み合わせのなかに含まれている。

まず全体像を把握することで、受験数学の見通しが少し良くなったのではないだろうか。
このように本書では、それぞれの単元の勘所を、全体像や直観像を示しながら解きほぐしていく。
ある概念が、そもそも何のために考えだされたものであるのか、その概念が実際のところどのように使われているのかを知ることで、それぞれの単元の見通しがすっと良くなるはずである。

次のような疑問・モヤモヤを抱えるすべての人へ!

順列と組み合わせと樹形図と確率の関係とは?
背理法でなぜ証明が完了するのか?
漸化式の特性方程式とは一体何なのか?
コーシー=シュワルツの不等式の正体とは?
複素数のかけ算の図形的な意味とは?
弧度法って結局何?
媒介変数表示と極座標表示はどう違う?
点と直線の距離の公式には三角比が隠れている!?
駆け足で説明される二次曲線をじっくり理解するには?
なぜ約分してから極限値を代入するのか?
合成関数の微分では一体何をやっているのか?
一部の進学塾がこっそり教えるテーラー展開と外積とは?

Index 目次

はじめに
目次

第1章 受験数学を直観的につかむ!
 受験数学の直観的方法
 受験数学の全体像

第2章 数学基礎論(命題・場合の数・確率・統計)
 命題と集合論
命題
「かつ」
「または」
必要十分条件
 背理法
 場合の数・確率
順列(P)と組み合わせ(C)
重複順列と重複組み合わせ
条件付き確率
 統計・相関
分散
相関係数

第3章 数学基礎論(数列)
 群数列
 数学的帰納法
 漸化式の特性方程式

第4章 代数(数と式・複素数)
 剰余定理と因数定理
 相加相乗平均、コーシー=シュワルツの不等式
相加相乗平均
コーシー=シュワルツの不等式
 複素数・複素平面

第5章 幾何(図形)
 三角比、正弦定理、余弦定理
三角比
正弦定理
余弦定理
 弧度法
 チェバの定理、メネラウスの定理、ヘロンの公式
チェバの定理
メネラウスの定理
ヘロンの公式
 三垂線の定理、オイラーの定理
三垂線の定理
オイラーの定理
 第5節 方べきの定理


第6章 解析(種々の関数と座標)
 平行移動
 三角関数
三角関数と一般角への拡張
加法定理
2倍角・半角の公式
 指数法則と指数関数
指数法則
指数関数
 対数と対数関数
対数
対数法則
常用対数
対数関数のグラフ
 媒介変数表示とグラフの伸縮
 極座標
極座標
座標変換
極方程式

第七章 解析幾何(図形と式)
 内分点と外分点
内分点
外分点
 直線の方程式、点と直線の距離
直線の方程式
点と直線の距離
 二次曲線
二次曲線
放物線
楕円
双曲線

第八章 解析幾何(ベクトル)
 ベクトル
 内積
 位置ベクトル

第九章 解析(微分積分)
 極限
極限
無限
 微分法
 極値
 自然対数の底e
 積分法
 曲線の長さ、体積
曲線の長さ
体積
 合成関数の微分と置換積分
合成関数の微分
置換積分

補章 大学数学
 テーラー展開
 外積
 行列

Author description 著者情報

三上慎司

1992年生まれ。兵庫県立加古川東高校卒、京都大学工学部現役合格。大学入学後、サークルを決めるより先に塾のバイトを決めたというほど、塾の先生にあこがれていた。大手進学塾に4年間勤務。社内で数千名が参加する「授業力コンテスト」にて2度関西代表となり、全国大会に出場。第8回出版甲子園出場。
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